Математический детектив: когда нейросеть делает то, что не должна уметь
В декабре 2024 года случилось странное. Исследователи из MIT попросили ChatGPT-4 формализовать доказательство одной открытой проблемы теории чисел. Нейросеть сделала это. За несколько часов. Проблема была известна как задача Эрдёша о представлении факториалов через суммы степеней простых чисел.
Открытая проблема — это не просто «сложная задача». Это вопрос, на который математическое сообщество не знает ответа десятилетиями. Некоторые такие проблемы остаются нерешёнными столетиями.
Что произошло на самом деле? ChatGPT не «придумал» новое доказательство. Он взял существующие математические идеи — Legendre's formula, теоремы о распределении простых чисел — и соединил их так, что получилась строгая формализация. Но именно это и есть суть математического творчества.
1 Провальный первый подход: как НЕ надо спрашивать ИИ о математике
Исследователи начали с наивного промпта. Полный провал.
"Докажи, что для любого натурального n существует представление n! = Σ p_i^{α_i}, где p_i — простые числа."ChatGPT выдал стандартный учебный ответ про каноническое разложение факториала. Никакого продвижения. Потому что проблема не в факторизации, а в конкретном типе представления через суммы степеней.
2 Переломный момент: Chain of Thought и структурирование задачи
Второй подход был другим. Исследователи разбили проблему на подзадачи и использовали технику Chain of Thought — заставили ChatGPT проговаривать каждый шаг рассуждения вслух.
Ключевой промпт выглядел так:
"Мы исследуем задачу Эрдёша о представлении факториалов. Давай формализуем по шагам:
1. Вспомни Legendre's formula для вычисления показателя простого числа в факториале
2. Рассмотри представление n! как произведение p^{v_p(n!)}
3. Преобразуй это произведение в сумму через логарифмирование
4. Используй оценки для суммы Σ floor(n/p^k)
5. Проведи строгие неравенства для доказательства существования представления
Объясняй каждый шаг подробно, как будто пишешь математическую статью."Это сработало. ChatGPT начал строить логическую цепочку. Сначала формализовал Legendre's formula. Потом перешёл к логарифмированию. Затем — к оценкам сумм.
Главный секрет: Harmonic Aristotle
Техника, которую исследователи назвали Harmonic Aristotle, оказалась решающей. Суть проста: заставить ИИ играть роль «систематического мыслителя», который не прыгает к ответу, а методично строит рассуждение.
| Техника | Что делает | Результат в кейсе |
|---|---|---|
| Chain of Thought | Заставляет показывать промежуточные рассуждения | ИИ не «угадывал» ответ, а строил логическую цепь |
| Harmonic Aristotle | Ролевое моделирование системного мыслителя | ChatGPT стал проверять каждый шаг на согласованность |
| Формализация требований | Чёткое определение математических объектов | Избежали двусмысленностей в определениях |
3 Финальный прорыв: промпт, который сработал
Вот тот самый промпт, который привёл к формализации доказательства:
"Ты — математик-формалист, работающий над задачей Эрдёша. Твоя цель — не найти новое доказательство, а строго формализовать существующие идеи.
Контекст задачи: нужно доказать, что для любого n существует представление n! = Σ_{i=1}^{k} p_i^{α_i}, где p_i — различные простые числа, α_i ≥ 1, и такое представление единственно с точностью до перестановки.
Требования к ответу:
1. Начни с точной формулировки теоремы
2. Введи все необходимые обозначения
3. Используй Legendre's formula как основу
4. Приведи доказательство по шагам, каждый шаг сопровождай пояснением
5. Проверь каждое неравенство
6. В конце сделай вывод о существовании представления
Ограничения:
- Не изобретай новые математические факты
- Опирайся только на известные теоремы теории чисел
- Каждый переход должен быть обоснован
- Избегай неопределённых формулировок типа "очевидно" или "легко видеть""Этот промпт — идеальный пример того, что OpenAI рекомендует в своих внутренних руководствах для GPT-5.2. Роль + цель + контекст + ограничения. Ничего лишнего.
Что на самом деле произошло?
ChatGPT не «решил» проблему в смысле создания новой математики. Он сделал нечто другое — взял разрозненные математические факты и соединил их в строгую формальную структуру. Это как собрать пазл, когда все детали уже лежат на столе, но никто не видит картины целиком.
В статье «Математика для чайников: как языковые модели решают задачи, не понимая их» подробно разбирается этот парадокс. ИИ не понимает математику в человеческом смысле. Но он умеет находить паттерны в формальных системах.
Важное уточнение: формализация ChatGPT прошла проверку математиками. Они подтвердили — доказательство корректно. Это не галлюцинация.
Почему это важно для всех, кто работает с ИИ
Кейс с задачей Эрдёша показывает несколько ключевых вещей:
- Промпт-инжиниринг важнее модели. GPT-4 не стал умнее за последний год. Но техники работы с ним эволюционировали радикально.
- Специализация роли даёт качественный скачок. «Математик-формалист» работает иначе, чем «полезный ассистент».
- Chain of Thought — не маркетинг. Это реальный инструмент повышения точности в сложных задачах.
Если вы хотите глубже погрузиться в техники промпт-инжиниринга, посмотрите секретные шаблоны из руководства OpenAI. Там те же принципы, но в прикладном ключе.
Ошибки, которые повторяют все
После анализа десятков подобных кейсов можно выделить типичные промахи:
- Слишком общие вопросы. «Объясни теорию чисел» вместо «формализуй Legendre's formula для n=100».
- Отсутствие структуры. Бросить сложную задачу без разбиения на подзадачи.
- Нет проверочных шагов. Не просить ИИ проверять каждое утверждение.
- Игнорирование контекста. Не указывать, какие теоремы можно использовать, а какие — нет.
Ирония в том, что эти же ошибки делают и опытные разработчики. Как в истории про налогового юриста, который создал Flask-сервис — сначала получался хаос, пока не появилась чёткая структура промптов.
Математический промпт-шаблон, который работает
На основе кейса с задачей Эрдёша можно вывести универсальный шаблон для математических задач:
"Ты — [специализация: математик-аналитик/алгебраист/тополог].
Цель: [конкретная математическая цель: доказать теорему/формализовать доказательство/найти контрпример].
Контекст задачи: [точная формулировка проблемы, известные теоремы, ограничения области].
Требования к решению:
1. Начни с точных определений
2. Используй [конкретные методы/теоремы]
3. Покажи все выкладки шаг за шагом
4. Проверь каждый логический переход
5. Сформулируй окончательный результат строго
Ограничения:
- Не используй недоказанные утверждения
- Все ссылки на теоремы должны быть точными
- Избегай интуитивных рассуждений без формализации
- Если используешь вычисления — покажи их полностью"Этот шаблон работает не только в теории чисел. Его адаптировали для задач комбинаторики, анализа, даже для формализации физических теорий.
Что это значит для будущего математики?
Скептики скажут: «ИИ просто соединил известные факты». Да. Но именно это делает большинство математиков большую часть времени. Творческий прорыв — редкое событие. Рутинная работа — формализация, проверка, соединение известных результатов.
ChatGPT и подобные модели не заменят математиков. Но они станут мощными ассистентами, которые берут на себя формальную рутину. Представьте: вы формулируете идею на естественном языке, а ИИ превращает её в строгое доказательство, проверяет на корректность, находит аналоги в литературе.
Уже сейчас появляются специализированные инструменты вроде Chess GPT для шахмат или математических ассистентов. Скоро мы увидим ИИ, который не просто решает задачи, а ведёт диалог с исследователем, предлагая альтернативные пути доказательства.
Но есть и тёмная сторона. Такие же техники промпт-инжиниринга используются для манипуляции выводом ИИ и создания фейковых результатов. Математическая корректность — это хорошо. Но что, если кто-то заставит ИИ «доказать» ложную теорему с помощью тех же самых методов?
Практический совет: как применять эти техники сегодня
Не ждите, пока ИИ решит гипотезу Римана. Начните с малого:
- Формализуйте известные доказательства. Возьмите теорему из учебника и попросите ChatGPT представить её в строгом формальном виде.
- Используйте Chain of Thought для сложных вычислений. Не просто просите ответ — требуйте показать все промежуточные шаги.
- Создайте «математическую личность». Обучите ИИ конкретному стилю мышления через промпты-роли.
- Проверяйте всё. Каждое утверждение, каждый переход, каждое неравенство.
И помните: лучший промпт — тот, который превращает ИИ из генератора текста в системного мыслителя. Как в рабочем процессе создателей Claude Code, где каждый промпт — это инструкция по мышлению, а не по написанию кода.
Математика будущего будет создаваться в диалоге. Человек предлагает идеи. ИИ проверяет их на формальную корректность. Человек интерпретирует результаты. ИИ ищет аналогии в других областях. И так по кругу, пока не появится новое знание.
А началось всё с простого промпта про факториалы и простые числа.
